目录n1 为什么要深入数学的世界n2 集合论：现代数学的共同基础n3 分析：在极限基础上建立的宏伟大厦n3.1 微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西n3.2 实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析n3.3 拓扑学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础n3.4 微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构n4 代数：一个抽象的世界n4.1 关于抽象代数n4.2 线性代数：“线性”的基础地位n4.2.1 泛函分析：从有限维向无限维迈进n4.2.2 继续往前：巴拿赫代数，调和分析，和李代数n5 现代概率论：在现代分析基础上再生n n1.为什么要深入数学的世界n n作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。n n我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。n nn n在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有很多。在这个过程中，我发现了两个事情：n n• 我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。n• 在数学中有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学的研究者重视n n