MIT牛人解说数学体系
来源: | 作者:k君 | 发布时间: 2016-07-11 | 99 次浏览 | 分享到:
目录n1 为什么要深入数学的世界n2 集合论:现代数学的共同基础n3 分析:在极限基础上建立的宏伟大厦n3.1 微积分:分析的古典时代——从牛顿到柯西n3.2 实分析:在实数理论和测度理论上建立起现代分析n3.3 拓扑学:分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础n3.4 微分几何:流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构n4 代数:一个抽象的世界n4.1 关于抽象代数n4.2 线性代数:“线性”的基础地位n4.2.1 泛函分析:从有限维向无限维迈进n4.2.2 继续往前:巴拿赫代数,调和分析,和李代数n5 现代概率论:在现代分析基础上再生n n1.为什么要深入数学的世界n n作为计算机的学生,我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的,是要想爬上巨人的肩膀,希望站在更高的高度,能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来,我在刚来这个学校的时候,并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目,是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上,使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework,在近年的论文中并不少见。n n我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具,但是,我认为它不是panacea,并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病,那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上,开始的时候,我也是和Vision中很多人一样,想着去做一个Graphical Model——我的导师指出,这样的做法只是重复一些标准的流程,并没有很大的价值。经过很长时间的反复,另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信,一个图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的,原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动,和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。n nn n在深入探索这个题目的过程中,遇到了很多很多的问题,如何描述一个一般的运动过程,如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达,如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系,还有很多。在这个过程中,我发现了两个事情:n n• 我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。n• 在数学中有很多思想和工具,是非常适合解决这些问题的,只是没有被很多的应用科学的研究者重视n nn n于是,我决心开始深入数学这个浩瀚大海,希望在我再次走出来的时候,我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。n n我的游历并没有结束,我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里,我只是说说,在我的眼中,数学如何一步步从初级向高级发展,更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。n n2.集合论:现代数学的共同基础n n现代数学有数不清的分支,但是,它们都有一个共同的基础——集合论——因为 它,数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念:集合(set),关系(relation),函数(function),等价 (equivalence),是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解,是进一步学些别的数学的基础。我相信,理工科大学生对于 这些都不会陌生。n n不过,有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合,一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过,这个貌似平常 的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论,比如巴拿赫-塔斯基分球理——“一个球,能分成五个部分,对它们进行一系列刚性变换(平移旋转)后,能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论,导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。现在,主流数学家对于它应该是基本接受的,因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里面,下面的定理依赖于选择公理:n n1.拓扑学:Baire Category Theoremn2.实分析(测度理论):Lebesgue 不可测集的存在性n3.泛函分析四个主要定理:Hahn-Banach Extension Theorem"