n n于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。n n我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里，我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。n n2.集合论：现代数学的共同基础n n现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为 它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价 (equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，是进一步学些别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于 这些都不会陌生。n n不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这个貌似平常 的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿赫-塔斯基分球理——“一个球，能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换(平移旋转)后，能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论，导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。现在，主流数学家对于它应该是基本接受的，因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里面，下面的定理依赖于选择公理：n n1.拓扑学：Baire Category Theoremn2.实分析(测度理论)：Lebesgue 不可测集的存在性n3.泛函分析四个主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem"